Fonctionnement du chiffre affine

L'idée en une phrase

Le chiffre affine est une Substitution pilotée par une droite : chaque lettre est d'abord étirée par un multiplicateur puis décalée, le tout dans l'Arithmétique modulaire — l'arithmétique du rebroussement à 26.

La recette

1. Choisissez la clé : un multiplicateur a et un décalage b.

2. Le multiplicateur doit être premier avec la longueur de l'alphabet : pour les 26 lettres, cela laisse douze valeurs (1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23, 25). Tout facteur commun avec 26 écraserait plusieurs lettres sur une seule, et l'outil refuse de construire cet alphabet.

3. Numérotez les lettres à partir de 0 (A = 0). Chiffrez la lettre numéro x en la lettre numéro (a·x + b) mod 26.

4. Lisez la nouvelle lettre dans l'alphabet.

Un exemple détaillé

Avec un multiplicateur de 3 et un décalage de 7, S (lettre 18) atterrit sur (3·18 + 7) mod 26 = 9 — J. E (lettre 4) atterrit sur 19 — T. La colonne centrale est le cœur sincère du chiffre : une multiplication et une addition, avec rebroussement à 26.

La formule

chiffrer : y = (a·x + b) mod 26
déchiffrer : x = a⁻¹·(y − b) mod 26

Le déchiffrement demande l'inverse du multiplicateur — le nombre qui, multiplié par a, donne 1 mod 26. Pour a = 3 l'inverse est 9, car 3·9 = 27 ≡ 1 (mod 26). Seuls les multiplicateurs premiers avec 26 ont un inverse — d'où l'espace de clés de 12 × 26 = 312 clés.

Pourquoi deux nombres valent mieux qu'un

Un pur décalage (César, a = 1) glisse l'alphabet mais préserve les écarts entre lettres : le motif A-B-C reste visible sous tout décalage. Le multiplicateur redistribue les espacements — B n'est plus « un pas après A ». Chaque écart change avec la multiplication, et l'Analyse fréquentielle qui abat César demande ici plus de travail.

Guides pas à pas

Chiffrez votre premier message

1. Tapez votre message dans le champ de message.

2. Réglez le multiplicateur dans le champ du multiplicateur — essayez 3, choix classique premier avec 26.

3. Réglez le décalage dans le champ du décalage — l'ajout à la César, toute valeur de 0 à 25.

4. Lisez le résultat dans le champ de résultat. La même lettre du texte clair donne toujours la même lettre chiffrée, mais la correspondance n'est plus un simple glissement.

Déchiffrez un message reçu

1. Collez le cryptogramme dans le champ de message et appuyez sur le bouton d'échange le bouton d'échange.

2. Saisissez le même multiplicateur le champ du multiplicateur et le même décalage le champ du décalage que l'expéditeur. L'outil calcule l'inverse multiplicatif pour vous — aucune arithmétique modulaire de votre côté.

3. Lisez le message d'origine dans le champ de résultat.

Brisez un message sans la clé

Le chiffre affine reste une Substitution fixe unique, il tombe donc devant l'attaque classique — et devant un raccourci :

1. Si vous connaissez deux paires lettre clair → lettre chiffrée, résolvez la droite directement : soustrayez les deux équations pour éliminer b, puis divisez — c'est-à-dire multipliez par l'inverse modulaire — pour obtenir a.

2. a connu, retrouvez b depuis l'une des paires.

3. Saisissez les deux nombres dans le champ du multiplicateur et le champ du décalage, passez en mode déchiffrement et lisez le message.

4. Aucune lettre connue ? Revenez à l'Analyse fréquentielle : la lettre chiffrée la plus fréquente correspond à E (ou T, ou A), et chaque hypothèse sur une paire de candidates détermine une clé candidate à tester sur les lettres suivantes.

Briser le chiffre affine

Le chiffre affine est une Substitution monoalphabétique avec un squelette mathématique — et c'est précisément ce squelette qui le trahit. Deux lettres connues effondrent toute la clé. Cette page montre les deux routes.

La faiblesse : une droite laisse une trace

Deux paramètres, une règle linéaire : y = (a·x + b) mod 26. Chaque paire de la clé appartient à la même droite. Deux points déterminent une droite — deux paires de lettres connues déterminent donc la clé.

Attaque 1 — deux lettres connues suffisent

1. Devinez ou obtenez deux paires clair → chiffré, disons x₁ → y₁ et x₂ → y₂.

2. Soustrayez : y₁ − y₂ ≡ a·(x₁ − x₂) (mod 26). Divisez par x₁ − x₂ — dans l'Arithmétique modulaire, diviser revient à multiplier par l'inverse modulaire — pour retrouver a.

3. Remplacez en arrière pour retrouver b.

4. Saisissez la clé et déchiffrez. Les Mot probable — mots connus en tête de message — offrent les paires gratuitement.

Attaque 2 — l'analyse fréquentielle, comme toujours

Sans lettres connues, le chiffre reste une Substitution fixe : la lettre chiffrée la plus fréquente correspond à E, la suivante à T ou A, et chaque correspondance devinée est une hypothèse sur (a, b) à tester sur les lettres suivantes. Rien à trouver comme période, aucune structure au-delà de la correspondance elle-même — l'Analyse fréquentielle fonctionne exactement comme contre César, seuls les alphabets candidats sont moins réguliers.

Pourquoi la règle de co-primauté compte

Le multiplicateur doit être premier avec 26 — sinon deux lettres du texte clair se confondent en une seule lettre chiffrée et le message ne peut plus être déchiffré de façon unique. Cette exigence réduit de moitié l'espace de clés à 312 combinaisons, et elle est la première rencontre d'un débutant avec l'idée qui porte la cryptographie moderne : l'inversibilité dans l'arithmétique modulaire.

De César à l'affine à RSA

Le décalage de César est le chiffre affine avec a = 1. L'affine ajoute une multiplication, et avec elle la notion d'inverse modulaire. Montez d'un cran — l'exponentiation à la place de la multiplication — et vous atteignez les mathématiques à clé publique de RSA. Le chiffre-jouet et le système bancaire partagent une même grammaire.